Matematika sudah ada sejak dulu. Jika penemuan tulang Ishango (lebih dari 20.000 tahun yang lalu) dapat dipercaya, itu mungkin merupakan bukti pertama pengetahuan tentang bilangan prima pertama dan perkalian, tetapi subjeknya tetap kontroversial. Sementara matematika tetap menjadi misteri bagi banyak dari kita, itu dilihat oleh beberapa orang sebagai cara yang bagus untuk memahami dan menganalisis dunia. Dalam matematika ada bilangan sempurnaSesuatu yang banyak orang tidak tahu.
Dalam artikel ini, kami akan memberi tahu Anda semua yang perlu Anda ketahui tentang bilangan sempurna dalam matematika dan karakteristiknya.
apa itu bilangan sempurna?
Bilangan sempurna adalah tentang menemukan bilangan prima Mersenne. Faktanya, Proposisi 36 Buku IX Elemen Euclid mengatakan bahwa jika bilangan Mersenne 2n – 1 prima, maka 2n-1 (2n – 1) adalah bilangan sempurna.
René Descartes mengkonfirmasi dalam sebuah surat kepada Mason bahwa bilangan genap adalah Euclid, tetapi dia tidak membuktikan teorinya. Sebaliknya, matematikawan Swiss Leonhard Euler Dia adalah orang pertama yang mendemonstrasikan pengamatan Cartesian. Kombinasi hasil Euclid dan Euler memungkinkan untuk memperoleh karakterisasi bilangan sempurna yang lengkap.
Empat bilangan sempurna pertama telah dikenal sejak zaman kuno. Mereka muncul dalam karya Nico Marcos de Graça dan Theon de Smyrna. Bilangan sempurna kelima disebutkan dalam Kode Latin 1456. Bilangan sempurna keenam dan ketujuh ditemukan oleh Cataldi pada abad ke-XNUMX, dan yang kedelapan oleh Euler pada tahun 1772.
Jadi pada awal 1950-an kami tahu 12 angka sempurna, tetapi kemudian berkat GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), pencarian dipercepat dengan teknologi yang semakin canggih dan penggunaan komputer pada 1990-an.
Untuk apa mereka
Jika banyak ahli matematika menganggap bilangan prima sebagai dasar aritmatika, maka bilangan sempurna tidak memiliki kegunaan khusus, karena tidak digunakan untuk menyelesaikan persamaan, memfaktorkan, atau memasuki ranah kriptografi. Di zaman kuno, mereka dianggap lebih unggul, dan seseorang melihat di dalamnya peran mistis: "Enam itu sendiri adalah angka yang sempurna, bukan karena Tuhan menciptakan segala sesuatu dalam enam hari, tetapi karena Tuhan menciptakan segala sesuatu dalam enam hari karena angka itu sempurna" – Santo Agustinus di Kota Tuhan (420 M)
Mereka adalah salah satu misteri matematika, dan pencarian bilangan sempurna baru terus memukau banyak matematikawan. Untuk lebih memahami ketertarikan ini, kita dapat menelusuri bagaimana angka-angka ini berhubungan dengan konsep-konsep di bidang lain, seperti Danau-danau besar di Amerika Utara, di mana pola alami dapat diamati. Itu tempat terbaik untuk melihat langit dapat memberi kita perspektif tentang kesempurnaan di alam.
Ada banyak tebakan tentang bilangan sempurna. Dugaan adalah aturan yang tidak pernah terbukti. Berikut adalah tiga:
- Bilangan sempurna Euclid semuanya bilangan genap karena salah satu faktornya adalah pangkat 2. Tetapi tidak ada bukti untuk membuktikan bahwa tidak ada bilangan sempurna yang ganjil;
- Semua bilangan sempurna yang diketahui berakhiran 6 atau 28, tetapi tidak selalu demikian;
- Juga belum terbukti bahwa memang ada banyak bilangan sempurna yang tak terhingga.
berapa bilangan sempurna?
Angka sempurna jarang terjadi. Sementara semua matematikawan setuju bahwa jumlahnya tak terhingga (tidak pernah terbukti), hari ini kita hanya tahu 50 dan kita bahkan tidak yakin bahwa tidak ada angka rata-rata sempurna yang belum ditemukan sejak 47.
Bilangan sempurna terakhir ditemukan pada Januari 2018. Penemuan bilangan prima baru yang sangat besar berarti penemuan bilangan sempurna baru, yaitu penemuan bilangan 2⁷⁷²³²⁹¹⁷-1.
Hanya ada tiga bilangan sempurna yang kurang dari 1000: 6, 28 dan 496. Ternyata bilangan sempurna pun berakhiran 6 atau 8, meskipun ini tidak pernah terbukti, tidak selalu demikian.
Bilangan sempurna genap dalam rumus 2n-1 (2n – 1) adalah bilangan segitiga (atau genap heksagonal). Sebaliknya, semua bilangan genap kecuali bilangan genap pertama yang sempurna adalah jumlah dari 2(n-1)/2 pangkat tiga dari bilangan ganjil pertama. Sebagai contoh:
- 28 = 13+ 33,
- 496 = 13+ 33 + 53 + 73,
- 8128 = 13+ 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153.
Delapan bilangan sempurna pertama adalah:
- 6
- 28
- 496
- 8128
- 33 550 336
- 8.589.869.056
- 137.438.691.328
- 2 305 843 008 139 952 128.
Beberapa sejarah
Santo Agustinus, juga dikenal sebagai Agustinus dari Hippo (354-430), fDia adalah seorang filsuf Romawi, penulis, matematikawan, dan pendeta. Jika Anda telah mempelajari mata pelajaran filsafat, nama itu pasti sudah tidak asing lagi bagi Anda, karena ia adalah salah satu filosof yang biasanya mempelajari mata pelajaran tersebut. Seperti banyak intelektual lain pada masanya, Santo Agustinus adalah salah satu dari mereka yang mengembangkan dan memperdalam pengetahuan di berbagai bidang mulai dari filsafat hingga matematika, dengan lebih banyak hal yang dapat dilihat daripada yang dapat kita bayangkan saat ini.
Nah, Augustinus dari Hippo mengatakan bahwa bilangan sempurna memiliki alasan untuk ada. Dalam karyanya The City of God, ia menjelaskan bahwa angka 6 adalah angka sempurna karena Tuhan menciptakan dunia dalam enam hari. Angka berikutnya, 28, sesuai dengan jumlah hari yang dibutuhkan Bulan untuk mengorbit Bumi. Pernyataan ini bukannya tanpa kontroversi: kebetulan atau bukan? Untuk mempelajari lebih lanjut tentang angka dan sifat-sifatnya, menarik untuk berkonsultasi cenote paling penting di Meksiko dan belajar tentang matematika yang ditemukan di alam.
Tidak ada penjelasan yang diberikan untuk dua angka berikutnya. Mereka adalah 496 dan 8128. Empat angka pertama ditemukan pada awal abad ke-XNUMX Masehi oleh Nicomachus dari Gerasa, seorang filsuf dan matematikawan yang tinggal di kota kuno Dekapolis, sekarang Yordania, yang dimiliki oleh Kekaisaran Romawi.
Untuk menemukan bilangan sempurna kelima kita harus melakukan lompatan besar dalam sejarah sampai kita mencapai abad kelima belas, karena bilangan sempurna kelima 33 550 336 muncul dalam manuskrip-manuskrip dari abad ini. Keenam dan ketujuh, 8.589.869.056 dan 137.438.691.328, ditemukan satu abad kemudian, pada tahun 1588, oleh ahli matematika Italia Pietro Cataldi.
Seperti bilangan sempurna, hanya bilangan Mersenne yang terbatas yang diketahui. Angka-angka tersebut dinamai Marin Mason, pria yang mengungkap serangkaian hipotesis tentang mereka. Mason adalah seorang filsuf, matematikawan, dan pendeta Prancis (1588-1648).
Euler-lah yang menemukan angka-angka khusus ini, berkat fondasi yang diletakkan oleh Mason. Leonhard Paul Euler (1707-1783) adalah seorang matematikawan dan fisikawan Swiss. Tentu, namanya sudah tidak asing lagi bagi Anda, karena menemukan angka delapan yang sempurna bukanlah satu-satunya pencapaiannya. Itu juga mendapat namanya dari nomor Euler (e), yang digunakan dalam banyak rumus fisika dan komputasi.
